Persamaan Garis Singgung Dan Garis Normal

Persamaan garis singgung dan garis normal adalah, garis singgung merupakan garis yang menyinggung kurva di satu titik dan garis normal adalah garis yang tegak lurus dengan garis singgung di titik yang sama dengan garis singgung pada kurva. Untuk lebih jelasnya lihat gambar kurva garis singgung dan garis normal dibawah ini.

garis singgung dan garis normal

Perhatikan kurva diatas, garis g menyinggung kurvaf(x)=ax²+bx+c di titik A(x,y) dan garis normal n adalah garis yang tegak lurus dengan garis singgung g .
Jika gradien garis g adalah m_g = m , maka gradien garis normal yang tegak lurus dengan garis g adalah

Maka persamaan garis singgung kurva menggunakan persamaan y-y₁=m_g (x-x₁) dan persamaan garis normalnya adalah y-y₁=m_n (x-x₁)

CONTOH 1:
Carilah persamaan garis singgung dan garis normal kurva f(x)=x²+4x+5 melalui titik x=1
JAWAB :
Cari gradien m garis singgung kurva, sebagai berikut :
f(x)=x²+4x+5
m = f’(x) = 2x + 4
m = 2.1 + 4 = 6

Maka gradien garis normalnya adalah :

Dan titik y  adalah

Persamaan garis singgungnya dengan m=6, x=1, y=10  :

Persamaan garis normalnya dengan gradient m_n = - 1/6 , x=1, y=10 adalah :

Jadi persamaan garis sinngungnya 6x - y = 4 dan garis normalnya x + 6y = 61

Lihat video untuk contoh 1 no.1

Persamaan garis singgung dan garis normal contoh 1 no.1

2. Persamaan garis singgung kurva y = x³ – 4x +1 mempunyai gradient – 1. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normalnya.

JAWAB :
Diketahu gradient garis singgung m=-1 , maka gradient garis normalnya mn =1
substitusi gradient garis singgung tersebut dari turunan y = x³ – 4x +1 untuk mendapatkan nilai x.
y = x³ – 4x +1
m = 3x² – 4
-1= 3x2 – 4
3=3x² ↔x²=1↔x=±1
Karena nilai x sudah diketahui, maka y bisa dicari dengan substitusi nilai x ke y = x³ – 4x +1.
Untuk x = 1, y = 13 – 4. 1 + 1 = - 2 , sehingga titik singgungnya (1, - 2)
Untuk x = - 1, y = (-1)3 – 4. (-1) + 1 = 4 , sehingga titik singgungnya (-1, 4)
Jadi garis singgungnya ada 2 garis karena ada 2 titik singgung :
Untuk titik (1, -2), m = -1
y – y₁ = m(x – x₁)
y+2=-1(x-1)
y=-x+1-2
x+y=-1
Untuk titik (-1, 4), m = -1
y – y₁ = m(x – x₁)
y-4=-1(x+1)
y=-x-1+4
x+y=3
Jadi garis singgungnya adalah x+y=-1 dan x+y=3

Dengan cara yang sama kita bisa mencari garis normalnya dengan gradien garis normalnm_n =1 dan gunakan titik singgung (1, -2) dan (-1, 4), karena titik garis singgung sama dengan titik garis normal.
Untuk titik (1, -2), m = 1
y – y1 = m(x – x1)
y+2=1(x-1)
y=x-1-2
y-x=-3
Untuk titik (-1, 4), m = -1
y – y1 = m(x – x1)
y-4=1(x+1)
y=x+1+4
y-x=5
Jadi persamaan garis normalnya adalah y-x=-3 dan y-x=5

3. Persamaan garis singgungnormal kurva y=√(x+1) mempunyai gradient 1/4. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normalnya.

JAWAB :
Diketahu gradient garis singgung m=1/4 , maka gradient garis normalnya mn =-4
substitusi gradient garis singgung tersebut dari turunan y=√(x+1) untuk mendapatkan nilai x.
y=√(x+1)=(x+1)^1/2
y’=1/2(x+1)^-1/2
m = 1/2(x+1)^-1/2
1/4=1/2(x + 1)^-1/2

Karena nilai x sudah diketahui, maka y bisa dicari dengan substitusi nilai x ke y=√(x+1).
Untuk x = 3, y=√(3+1)=2 , sehingga titik singgungnya (3, 2)

Untuk titik (3, 2), m = 1/4
y – y₁ = m(x – x₁)
y-2=1/4 (x-3).
4y-8=x-3
-x+4y=5
Jadi garis singgungnya adalah -x+4y=5

Dengan cara yang sama kita bisa mencari garis normalnya dengan gradien garis normal
mn =-4 dan gunakan titik singgung (3, 2) ,karena titik garis singgung sama dengan titik garis normal.
Untuk titik (3, 2), mn = -4
y – y₁ = m(x – x₁)
y-2=-4(x-3)
y=-4x+12+2
4x+y=14

Jadi persamaan garis normalnya adalah 4x+y=14

CONTOH 2 :

1. Tentukan persaman garis singgung kurva y = x²+3x   yang sejajar garis y = 7x + 4
2. Tentukan persaman garis singgung kurva y = x³+2x+1  yang tegak lurus garis 5y+x – 2 = 0.

JAWAB :

1. Tentukan gradientnya dahulu dari persamaan y = 7x + 4 y = 7x + 4↔ m = 7, kemudaian cari titik singgungnya.

Cari titik y, dengan substitusi x = 2.

Jadi titik singgungnya (2, 10)

Maka garis singgungnya

Jadi garis singgungnya adalah y = 7x – 4

2. Tentukan gradiennya dahulu dari persamaan 5y+x – 2 = 0

5y+x – 2 = 0↔ m = -1/5, dan gradient yang tegak lurus garis tersebut adalah :
m_n = -1/m=-1/(-1/5)=5
kemudian cari titik singgungnya.

Cari titik y, dengan substitusi x = 1 dan x = -1.
Untuk x = 1

Jadi titik singgungnya (1, 4)
Dan persamaan garis singgungnya :

Untuk x = -1

Jadi titik singgungnya (- 1, - 2)

Dan persamaan garis singgungnya :

Jadi persamaan garis singgungnya adalah y = 5x – 1
dan y = 5x – 3